中微笔记：完全互补偏好的效用函数与无差异曲线

一、问题的提出

4.3节中指出，能够描述完全互补偏好关系的效用函数的一般形式为。

如果是1:1互补偏好（如左鞋和右鞋），那么很简单，，；但如果互补关系是1:n或者m:n的情况，该如何确定a和b的取值呢？

二、书上的例子

书上举了个例子，一杯茶放两匙糖，固定比例为1:2。如果表示茶的杯数，表示糖的匙数，那么效用函数为。

怎么画对应的无差异曲线？

我们来分析效用函数，其实它可以写成：

①当时，（也就是说，在拐点和原点连线的右下方，无差异曲线是水平线）

②当时，（也就是说，在拐点和原点连线的右下方，无差异曲线是垂线）

在拐点上：，即此处用两个公式计算出来的效用值相等。在拐点上，商品2的数量与商品1的数量之比是2:1。商品1和商品2具体数量的不同就形成不同的无差异曲线。

如果，那么，

如果，那么，（如图）

三、推而广之

更一般地，如果，那么无差异曲线是怎样的？

可以先做个单调变换，得到：

则：

在拐点上：，换下位置就是：。可见商品2和商品1之间的互补关系是：a:b。书上的例子中，，，互补比例为2:1。

我们再来看一个具体的例子：一个茶壶配六个茶杯。茶壶作为商品1放在横轴，茶杯作为商品2放在纵轴，那么无差异曲线就如下图所示。反过来，效用函数是什么呢？也就是a和b的取值关系如何？

上图中，拐点斜率为6，也就是说：

如果取，则，得到效用函数为。当然，a和b具体的取值仍然不重要，如果你令，则，新的效用函数无非是上一个效用函数的单调变换。

如果是m:n的情况，也很简单，关键还是记住拐点处与原点连线的斜率是。比如一架飞机的机组成员构成为2名飞行员+6名空乘人员。如果横轴表示飞行员，纵轴表示空乘人员，则拐点斜率为3。也就是说：

我们还是可以取，则，得到效用函数为。当然，如果你熟练了，直接根据一个组合中需要的两个投入要素的数量，写出也是没错的。两个效用函数之间仍然是单调变换的关系。

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注：文中4.3节是指哈尔·R.范里安《微观经济学：现代观点（第九版）》的4.3节，在中文版第39页。

End

作者：杨奇明
编辑：郑泽青

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